Étude des élassoïdes

AVANT-PROPOS.
La classe des sciences de l'Académie royale de Belgique avait inscrit sur son programme de concours de 1880, la question suivante :
« Trouver et discuter les équations de quelques surfaces algébriques a courbure moyenne nulle. »
De toutes les applications des mathématiques il n'en est pas qui présentent plus de séductions que la théorie des surfaces ; il en est peu qui soient facilement, comme elle, susceptibles d'élégance et de pittoresque. Laplace a dit : «Cependant les consi- dérations géométriques ne doivent pas être abandonnées, elles sont de la plus grande utilité dans les arts. D'ailleurs, il est curieux de se figurer dans l'espace, les divers résultats de l'analyse ; et réciproquement, de lire toutes les modifications des lignes et des surfaces, et les variations du mouvement des corps, dans les équations qui les expriment. Ce rapprochement de la géométrie et de l'analyse répand un jour nouveau sur ces deux sciences : les opérations intellectuelles de celles-ci, rendues sensibles par les images de la première, sont plus faciles à saisir, plus intéressantes à suivre ; et quand l'observation réalise ces images et transforme les résultats géométriques en lois de la nature,. . . la vue de ce sublime spectacle nous fait éprouver le plus noble des plaisirs réservés à la nature humaine.»
La question proposée par l'Académie royale de Belgique, malgré sa limitation et son caractère particulier, présente, à un certain degré, l'intérêt éloquemment défini par Laplace : en effet, depuis qu'entre les mains d'un illustre physicien belge «la nature se fait géomètre»; depuis que chacun a pu réaliser les lames minces à courbure moyenne nulle, les plus variées, tous ceux que l'exactitude et la perfection enchantent, ne se lassent de vérifier, jusque dans ses conséquences les plus délicates, ou les plus imprévues, une des lois dérobées au monde moléculaire.
D'un autre côté, il n'est peut-être pas, dans l'étude des surfaces, de chapitre plus attachant, dans sa simplicité, que celui où l'on traite des surfaces à courbure moyenne nulle. Depuis Lagrange, tous les géomètres, pour ainsi dire, les ont étudiées, chacun ajoutant des résultats nouveaux, soit très-généraux, soit très-particuliers, également recommandables par leur netteté ou leur élégance.
L'Académie nous excusera sans doute de prendre pour guide dans notre étude plutôt l'imagination en quête de résultats que la question même soumise au concours. C'est un chapitre au sujet des surfaces à courbure moyenne nulle que nous écri- rons, et, par surcroît, le problème posé recevra sans doute une solution suffisamment développée.